使用python实现离散时间傅里叶变换的方法

 更新时间:2019年09月02日 08:24:29   作者:weijifen000   我要评论
这篇文章主要介绍了使用python实现离散时间傅里叶变换的方法,文中通过示例代码介绍的非常详细,对大家的学习或者工作具有一定的参考学习价值,需要的朋友们下面随着小编来一起学习学习吧

我们经常使用傅里叶变换来计算数字信号的频谱,进而分析数字信号,离散时间傅里叶变换的公式为:

可是自己动手实现一遍才是最好的学习。

在数字分析里面,傅里叶变换默认等时间间隔采样,不需要时间序列,只需要信号数组即可分析。

分析过程如下:

  • 对于含有 n 个样本值的数字信号序列,根据奈奎斯特采样定律,包含的周期数最大为 n/2,周期数为 0 代表直流分量。所以,当周期数表示为离散的 0,1,2,3…n/2 ,总的数目为 n/2+1
  • 傅里叶变换之后的结果为复数, 下标为 k 的复数 a+b*j 表示时域信号中周期为 N/k 个取样值的正弦波和余弦波的成分的多少, 其中 a 表示 cos 波形的成分, b 表示 sin 波形的成分
  • 首先产生一个长度为 n,一倍周期的 $e^{-jwn} $ (即为 $cos(wn)-jsin(wn) $ )波样本序列.
  • 将数字信号序列中的每一个样本与 1 倍周期的样本波形序列相乘,得到 n 个乘积,将 n 个乘积相加,放入 f[1] 中。
  • 再产生一个长度为 n,两倍周期的 $e^{-jwn} $ (即为 $cos(wn)-jsin(wn) $ )波样本序列,再将数字信号序列中的每一个样本与 2 倍周期的样本波形序列相乘,得到 n 个乘积,将 n 个乘积相加,放入 f[2] 中。依次重复。
  • 对于 0 倍周期,即直流分量来说,可以认为产生的是 0 倍周期的样本波形,重复操作,放入 f[0] 即可。
  • 这样就得到了数字信号序列的傅里叶变换

使用方法:

从以上过程得到数字序列的傅里叶变换之后,如果想要得到真正频谱,还需要做处理:

  • 计算出的每一个频率下的幅值需要除以时间序列的长度,类似求平均的过程
  • 每一个频率下的幅值是一个复数,需要对它求模,而且因为在负频率处也有值,所以需要对于实信号需要乘 2
  • 频率的序列为 0 到采样率的一半,长度为 n/2+1

完整程序:

# 离散时间傅里叶变换的 python 实现
import numpy as np
import math
import pylab as pl
import scipy.signal as signal
import matplotlib.pyplot as plt
sampling_rate=1000
t1=np.arange(0, 10.0, 1.0/sampling_rate)
x1 =np.sin(15*np.pi*t1)
# 傅里叶变换
def fft1(xx):
#   t=np.arange(0, s)
  t=np.linspace(0, 1.0, len(xx))
  f = np.arange(len(xx)/2+1, dtype=complex)
  for index in range(len(f)):
    f[index]=complex(np.sum(np.cos(2*np.pi*index*t)*xx), -np.sum(np.sin(2*np.pi*index*t)*xx))
  return f
# len(x1)
xf=fft1(x1)/len(x1)
freqs = np.linspace(0, sampling_rate/2, len(x1)/2+1)
plt.figure(figsize=(16,4))
plt.plot(freqs,2*np.abs(xf),'r--')
plt.xlabel("Frequency(Hz)")
plt.ylabel("Amplitude($m$)")
plt.title("Amplitude-Frequency curve")
plt.show()

png

plt.figure(figsize=(16,4))
plt.plot(freqs,2*np.abs(xf),'r--')
plt.xlabel("Frequency(Hz)")
plt.ylabel("Amplitude($m$)")
plt.title("Amplitude-Frequency curve")
plt.xlim(0,20)
plt.show()

png

此处实现的是传统的傅里叶变换,这种方法实际已经不用了,现在使用快速傅里叶变换,其实两种是等价的,但是快速傅里叶变换时间复杂度要小很多。

以上就是本文的全部内容,希望对大家的学习有所帮助,也希望大家多多支持澳门金沙网上娱乐。

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